Unäres Zahlensystem - Wikipedia

Das unäre Zahlensystem ist das bijektive Basis-1-Zahlensystem. Es ist das einfachste Zahlensystem, um natürliche Zahlen darzustellen: ^[1] Um eine Zahl N darzustellen, wird ein willkürlich gewähltes Symbol, das 1 darstellt, N -Zeit wiederholt. ^[2] Zum Beispiel Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 ... würden in diesem System als ^[3]

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111 ...

dargestellt. Diese Zahlen sollten unterschieden werden Repunits, die ebenfalls als Sequenzen von Einsen geschrieben werden, jedoch ihre übliche dezimale numerische Interpretation haben.

Dieses System wird bei der Zählung verwendet. Unter Verwendung des Markierungszeichens | wird die Zahl 3 beispielsweise als ||| dargestellt. In ostasiatischen Kulturen wird die Zahl Drei als "三" dargestellt (1 und 2 werden auf dieselbe Weise dargestellt), ein Zeichen, das mit drei Strichen gezeichnet wird. ^[4] In China wird das Zeichen "正" verwendet, um zu repräsentieren " fünf "in einigen Situationen, weil es mit 5 Strichen gezeichnet wird.
Operationen

Operationen [ edit ]

Addition und Subtraktion sind im unären System besonders einfach, da sie wenig mehr als eine String-Verkettung beinhalten. ^[5] Das Hamming-Gewicht oder die Populationszählung Zählt die Anzahl der Nicht-Null-Bits in einer Folge von Binärwerten, kann auch als Umwandlung von unären in Binärzahlen interpretiert werden. ^[6] Die Multiplikation ist jedoch umständlicher und wurde oft als Testfall für den Entwurf von Turing-Maschinen verwendet. ^[7][8][9]

Komplexität [ edit ]

Verglichen mit herkömmlichen Positionsnummernsystemen ist das unäre System unpraktisch und wird daher in der Praxis nicht für große Berechnungen verwendet. Es tritt in einigen Entscheidungsproblembeschreibungen in der theoretischen Informatik auf (z. B. einige P-Complete-Probleme), wo es verwendet wird, um die Laufzeit- oder Platzanforderungen eines Problems "künstlich" zu verringern. Zum Beispiel wird vermutet, dass das Problem der ganzzahligen Faktorisierung mehr als eine Polynomfunktion der Länge der Eingabe als Laufzeit erfordert, wenn die Eingabe binär angegeben wird, sie erfordert jedoch nur eine lineare Laufzeit, wenn die Eingabe unary dargestellt wird. 19659016] permanente Dead Link ] Dies ist jedoch möglicherweise irreführend. Die Verwendung einer unären Eingabe ist für eine bestimmte Anzahl langsamer, nicht schneller. Der Unterschied ist, dass eine binäre (oder größere Basis) -Eingabe proportional zum Logarithmus der Zahl von Basis 2 (oder einer größeren Basis) der Zahl ist, während die unäre Eingabe proportional zur Zahl selbst ist. Während der Laufzeit- und Platzbedarf in Unary als Funktion der Eingabegröße besser aussieht, stellt er jedoch keine effizientere Lösung dar. ^[12]

In der Theorie der rechnerischen Komplexität ist unäre Nummerierung wird verwendet, um stark NP-vollständige Probleme von Problemen zu unterscheiden, die NP-vollständig, aber nicht stark NP-vollständig sind. Ein Problem, bei dem die Eingabe einige numerische Parameter enthält, ist stark NP-vollständig, wenn sie auch dann NP-vollständig bleibt, wenn die Größe der Eingabe künstlich vergrößert wird, indem die Parameter in unary dargestellt werden. Für ein solches Problem gibt es harte Instanzen, für die alle Parameterwerte höchstens polynomial groß sind. Anwendungen edit

Unary wird als Teil einiger Datenkomprimierungsalgorithmen verwendet, wie z als Golomb-Kodierung. ^[14] Sie bildet auch die Grundlage für die Peano-Axiome zur Formalisierung der Arithmetik innerhalb der mathematischen Logik. ^[15]
Eine Form der unären Notation, die als Church-Kodierung bezeichnet wird, wird zur Darstellung von Zahlen innerhalb des Lambda-Kalküls verwendet edit ]

Referenzen [ edit ]

1. ^ Hodges, Andrew (2009), Eins bis neun: Das innere Leben of Numbers Anchor Canada, p. 14, ISBN 9780385672665, Der einfachste Weg, die natürlichen Zahlen zu schreiben, ist die unäre Notation .
   


2. . Davis, Martin; Sigal, Ron; Weyuker, Elaine J. (1994), Berechenbarkeit, Komplexität und Sprachen: Grundlagen der theoretischen Informatik Informatik und wissenschaftliches Computing (2. Ausgabe), Academic Press, p. 117, ISBN 9780122063824, Die Basis-1 (oder unäre) Darstellung der Zahl x ist einfach eine Zeichenfolge der Länge x .
   


3. ^
   


4. Hext , Jan (1990), Programmierstrukturen: Maschinen und Programme Programmierstrukturen, 1 Prentice Hall, p. 33, ISBN 9780724809400 .
   


5. ^ Woodruff, Charles E. (1909), "Die Evolution der modernen Ziffern aus alten Markennamen", American Mathematical Monthly 16 (8–9): 125–133, doi: 10.2307 / 2970818, JSTOR 2970818 .
   


6. ^ Sazonov, Vladimir Yu. (1995), "Über mögliche Zahlen", Logik und rechnerische Komplexität (Indianapolis, IN, 1994) Lecture Notes in Comput. Sci., 960 Springer, Berlin, S. 30–51, doi: 10.1007 / 3-540-60178-3_78, ISBN 978-3-540-60178-4, MR 1449655 . Siehe insbesondere p. 48.
   


7. ^ Blaxell, David (1978), "Record linkage by bit pattern match", in Hogben, David; Fife, Dennis W., Informatik und Statistik - Zehntes jährliches Symposium über die Schnittstelle NBS Special Publication, 503 US-Handelsministerium / National Bureau of Standards, S. 146 –156 .
   


8. ^ Hopcroft, John E .; Ullman, Jeffrey D. (1979), Einführung in die Automatentheorie, Sprachen und Berechnungen Addison Wesley, Beispiel 7.7, S. 158–159, ISBN 978-0-201-02988-8
   


9. ^ Dewdney, AK (1989), Der neue Turing-Omnibus: Sechsundsechzig Exkursionen in der Informatik Computer Science Press, p. 209, ISBN 9780805071665 .
   


10. ^ Rendell, Paul (2015), "5.3 Larger Example TM: Unary Multiplication", Turing Machine Universalität des Spiels des Lebens Entstehung, Komplexität and Computation, 18 Springer, S. 83–86, ISBN 9783319198422 .
    


11. ^ Arora, Sanjeev; Barak, Boaz (2007), "Das Rechenmodell - und warum es keine Rolle spielt" (PDF) Rechnerische Komplexität: Ein moderner Ansatz (Januar 2007, ed. D). Cambridge University Press, §17, S. 32–33 abgerufen 10. Mai 2017 .
    


12. ^
    Feigenbaum, Joan (Fall 2012), CPSC 468/568 HW1 Solution Set (PDF) Computer Science Department, Yale University abgerufen 2014-10-21 .
    


13. ^ Moore, Cristopher; Mertens, Stephan (2011), Die Natur der Berechnung Oxford University Press, p. 29, ISBN 9780199233212
    


14. ^ Garey, M. R .; Johnson, DS (1978), Ergebnisse der NP-Vollständigkeit: Motivation, Beispiele und Implikationen ", Journal of the ACM 25 (3 ): 499–508, doi: 10.1145 / 322077.322090, MR 0478747 .
    


15. ^ Golomb, SW (1966), "Lauflängencodierungen", IEEE-Transaktionen auf Informationstheorie IT-12 (3): 399–401, doi: 10.1109 / TIT.1966.1053907 . 19659074] Magaud, Nicolas; Bertot, Yves (2002), "Ändern von Datenstrukturen in der Typentheorie: Eine Untersuchung natürlicher Zahlen", Typen für Beweise und Programme (Durham, 2000) Lecture Notes in Comput. Sci. 2277 Springer, Berlin, S. 181–196, doi: 10.1007 / 3-540-45842-5_12, ISBN 978-3-540-43287-6, MR 2044538 .
    


16. ^ Jansen, Jan Martin (2013), "Programmierung im λ-Kalkül: Von Kirche zu Scott und zurück", Die Schönheit des Funktionscodes: Essays, die Rinus Plasmeijer bei seinem Anlass gewidmet ist 61. Geburtstag Vorlesungsunterlagen in der Informatik, 8106 Springer-Verlag, S. 168–180, doi: 10.1007 / 978-3-642-40355-2_12, ISBN 978-3-642 -40354-5 .
    

Externe Links [ ]