In der Mathematik ist die Gesamtableitung einer Funktion f "/> die beste lineare Approximation des Wertes von Funktion in Bezug auf seine Argumente. Im Gegensatz zu partiellen Ableitungen nähert sich die Gesamtableitung der Funktion in Bezug auf alle ihre Argumente an, nicht nur auf ein einzelnes Argument. In vielen Situationen ist dies das Gleiche, wenn alle partiellen Ableitungen gleichzeitig betrachtet werden. Der Begriff "Gesamtableitung" wird hauptsächlich verwendet, wenn eine Funktion von mehreren Variablen ist, weil wenn ist eine Funktion einer einzelnen Variablen, die Gesamtableitung entspricht der Ableitung der Funktion der Funktion. [1]: 198–203
"Total derivative "wird manchmal auch als Synonym für die Materialableitung in der Strömungsmechanik verwendet.
Die Gesamtableitung als lineare Karte [ edit ]
Let sei eine offene Untermenge . Dann eine Funktion soll ( total ) an einem Punkt
![] { displaystyle f: U rightarrow mathbf {R} ^ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379fd174fdcd8876e9c4060626a3de871a7ff06a)
Konzeptionell drückt die Definition der Gesamtableitung die Idee aus, dass am Punkt . Dies kann durch Quantifizierung des Fehlers in der linearen Näherung, bestimmt durch
wobei entspricht dem Fehler in der Näherung. Zu sagen, dass die Ableitung von bei ] ist ist der Aussage gleichwertig
Die Funktion f ist genau dann unterscheidbar, wenn jede ihrer Komponenten ist differenzierbar, daher ist es oft möglich, bei der Untersuchung von Gesamtderivaten jeweils eine Koordinate in der Codomäne zu arbeiten. Gleiches gilt jedoch nicht für die Koordinaten in der Domäne. Es ist wahr, dass, wenn f existiert bei . Das Gegenteil ist falsch: Es kann vorkommen, dass alle partiellen Ableitungen von bei existiert, aber f ist bei a
Die Gesamtableitung als Differentialform [ edit ]
Wenn die betrachtete Funktion reell ist, kann die Gesamtableitung unter Verwendung von Differentialformen neu gefasst werden. Angenommen, ist eine differenzierbare Funktion von Variablen . Die Gesamtableitung von um a in Bezug auf seine Jacobi-Matrix geschrieben werden, die sich in diesem Fall auf den -Gradienten vereinfacht:
Die Eigenschaft der linearen Näherung der Gesamtableitung impliziert, dass if
ist ein kleiner Vektor (wobei bezeichnet transponieren, so dass dieser Vektor ein Spaltenvektor ist)
- infinitesimale Inkremente in den Koordinatenrichtungen
Die Theorie der Differentialformen ist eine Möglichkeit, infinitesimalen Inkrementen eine genaue Bedeutung zu geben, wie . In dieser Theorie ist eine lineare Funktion auf der Vektorraum . Auswerten von an einem Vektor
in misst, wie viel in -te Koordinatenrichtung. Die Gesamtableitung ist eine lineare Kombination linearer Funktionale und ist daher selbst eine lineare Funktion. Die Bewertung misst, wie viel in die durch at und diese Richtung ist der Gradient. Dieser Gesichtspunkt macht die Gesamtableitung zu einer Instanz der äußeren Ableitung .h [19456520] ] { displaystyle h}Nehmen wir nun an, dass eine vektorwertige Funktion ist, dh . In diesem Fall sind die Komponenten von sind Funktionen mit echtem Wert, daher sind ihnen Differentialformen zugeordnet . Die Gesamtableitung fasst diese Formen zu einem einzigen Objekt zusammen und ist daher eine Instanz eines -Vektorwertdifferenzials bilden.
Die Kettenregel für Gesamtderivate [ edit ]
Die Kettenregel hat eine besonders elegante Aussage bezüglich der Gesamtderivate. Es heißt, dass für zwei Funktionen und at "/>
at [19659097] a{ displaystyle a} erfüllt- und ] werden mit ihren Jacobischen Matrizen identifiziert, dann ist das Composite auf der rechten Seite einfach eine Matrixmultiplikation. Dies ist in Anwendungen enorm hilfreich, da es möglich ist, im Wesentlichen beliebige Abhängigkeiten zwischen den Argumenten einer zusammengesetzten Funktion zu berücksichtigen.
Beispiel: Differenzierung mit direkten Abhängigkeiten [ edit ]
Angenommen, f ist eine Funktion von zwei Variablen, x und ] y . Wenn diese beiden Variablen unabhängig sind, ist die Domäne von f dann kann das Verhalten von f in Bezug auf seine partiellen Ableitungen in den Richtungen x und verstanden werden. In einigen Situationen können jedoch x und y abhängig sein. Zum Beispiel kann es vorkommen, dass f auf eine Kurve beschränkt ist . In diesem Fall interessiert uns eigentlich das Verhalten der zusammengesetzten Funktion . Die partielle Ableitung von f in Bezug auf x gibt nicht die wahre Änderungsrate von f in Bezug auf das Ändern x an, weil sich Änderungen ergeben x ändert sich notwendigerweise y . Die Kettenregel für die Gesamtableitung berücksichtigt jedoch solche Abhängigkeiten. Write ]. Dann sagt die Kettenregel
Durch Ausdrücken der Gesamtableitung unter Verwendung von Jacobian-Matrizen wird dies zu:
Unterdrückung der Bewertung bei Der besseren Lesbarkeit halber schreiben wir dies auch als
Dies gibt eine einfache Formel für die Ableitung von in Bezug auf die partiellen Ableitungen von und die Ableitung von .
Nehmen wir zum Beispiel an
Die Änderungsrate von f in Bezug auf x ist normalerweise die partielle Ableitung von f in Bezug auf x ; in diesem Fall,
Wenn y jedoch von abhängt x gibt die partielle Ableitung nicht die wahre Änderungsrate von f an, da x sich ändert, weil die partielle Ableitung davon ausgeht, dass y festgelegt ist. Angenommen, wir sind an die Linie gebunden
und die Gesamtableitung von f in Bezug auf x ist
von dem wir sehen, dass es nicht gleich der partiellen Ableitung ist /
[1945 x { displaystyle partielle f / partielle x} . Anstatt y im Sinne von x sofort zu ersetzen, können wir jedoch auch die Kettenregel wie oben verwenden:Beispiel: Differenzierung mit indirekten Abhängigkeiten [ edit ]
Während man häufig Substitutionen durchführen kann, um indirekte Abhängigkeiten zu beseitigen, sorgt die Kettenregel für eine effizientere und allgemeinere Technik. Angenommen, ist eine Funktion der Zeit und Variablen die selbst von der Zeit abhängen. Dann ist die zeitliche Ableitung von
Die Kettenregel drückt diese Ableitung in Form der partiellen Ableitungen von und die zeitlichen Ableitungen der Funktionen :
Dieser Ausdruck wird häufig in der Physik für eine Maßtransformation des Lagrangian verwendet, da zwei Lagrangianer sich nur durch die Gesamtzeitableitung einer Funktion von Zeit und unterscheiden Die verallgemeinerten Koordinaten führen zu den gleichen Bewegungsgleichungen. Ein interessantes Beispiel betrifft die Auflösung der Kausalität bezüglich der Zeitsymmetrischen Theorie von Wheeler-Feynman. Der Operator in Klammern (im letzten Ausdruck oben) wird auch als total derivative Operator bezeichnet (in Bezug auf ).
Zum Beispiel die Gesamtableitung von ist
Hier gibt es keine Begriff seit f "/> selbst hängt nicht von der unabhängigen Variablen direkt ab.
Gesamtdifferentialgleichung [ edit ]
A Die Gesamtdifferentialgleichung ist eine Differentialgleichung, ausgedrückt als Gesamtderivate. Da die äußere Ableitung in einem Sinn, der eine technische Bedeutung geben kann, koordinatenfrei ist, sind solche Gleichungen intrinsisch und geometrisch .
Anwendung auf Gleichungssysteme [ edit ]
In der Wirtschaft ist es allgemein üblich, dass die Gesamtableitung im Zusammenhang mit einem Gleichungssystem auftritt. [1]: pp. 217–220 Beispielsweise könnte ein einfaches Angebot-Nachfrage-System die Menge q eines als Funktion geforderten Produkts D seines Preises angeben p und Verbrauchereinkommen I wobei letztere eine exogene Variable ist und die von den Herstellern gelieferte Menge als Funktion S ihres Preises und zweier exogener Ressourcenkostenvariablen angeben kann und w . Das resultierende Gleichungssystem
determines the market equilibrium values of the variables p and q. The total derivative of p with respect to rfor example, gives the sign and magnitude of the reaction of the market price to the exogenous variable r. In the indicated system, there are a total of six possible total derivatives, also known in this context as comparative static derivatives: dp / drdp / dwdp / dIdq / drdq / dwand dq / dI. The total derivatives are found by totally differentiating the system of equations, dividing through by, say drtreating dq / dr and dp / dr as the unknowns, setting dI = dw = 0and solving the two totally differentiated equations simultaneously, typically by using Cramer's rule.
References[edit]
- A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
- From thesaurus.maths.org total derivative
External links[edit]
![{ displaystyle dx_ {1}, ldots, dx_ {n}} [19659005] sind dann <a href=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0b10be2d458f01860db3b84cdcc0f7da7c2b8d)
infinitesimale Inkremente in den Koordinatenrichtungen
in 
![{ displaystyle d (g circ f) _ {a} = dg_ {f (a)} circ df_ {a}.} [19659086] Wenn die Gesamtderivate von <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/784518204c0730bc73a326fb29d21381c069c64e)
![{ displaystyle y = x.]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4100db212da6ceb56b87dca74781dde78d5f8d76)
. Anstatt y im Sinne von x sofort zu ersetzen, können wir jedoch auch die Kettenregel wie oben verwenden:
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