Pappus-Konfiguration - Wikipedia

In der Geometrie ist die Pappus-Konfiguration eine Konfiguration aus neun Punkten und neun Linien in der euklidischen Ebene mit drei Punkten pro Linie und drei Linien durch jeden Punkt. ^[1]

Geschichte und Bau edit ]

Diese Konfiguration wurde nach Pappus von Alexandria benannt. Pappus 'Sechseck-Theorem besagt, dass alle zwei Tripel kollinearer Punkte ABC und abc (von denen keine am Schnittpunkt der beiden Linien liegt) durch Hinzufügen zu einer Pappus-Konfiguration vervollständigt werden können die sechs Linien Ab aB Ac aC Bc und v. Chr.

] und ihre drei Schnittpunkte X = Ab · aB Y = Ac

· aC und Z = Bc · v. Chr. . Diese drei Punkte sind die Schnittpunkte der "gegenüberliegenden" Seiten des Sechsecks AbCaBc . Nach dem Satz von Pappus hat das resultierende System aus neun Punkten und acht Linien immer eine neunte Linie mit den drei Schnittpunkten X Y und Z . die Pappus-Linie . ^[2]

Die Pappus-Konfiguration aus perspektivischen Dreiecken XcC und YbB

Die Pappus-Konfiguration kann auch von zwei Dreiecken XcC abgeleitet werden. und YbB die in Perspektive zueinander stehen (die drei Linien durch entsprechende Punktpaare treffen sich an einem einzigen Kreuzungspunkt) auf drei verschiedene Arten zusammen mit ihren drei Perspektivzentren Z a und A . Die Punkte der Konfiguration sind die Punkte der Dreiecke und der Perspektivenzentren, und die Linien der Konfiguration sind die Linien durch entsprechende Punktpaare.

Verwandte Konstruktionen [ edit ]

Der Levi-Graph der Pappus-Konfiguration wird als Pappus-Graph bezeichnet. Es handelt sich um einen bipartiten symmetrischen kubischen Graphen mit 18 Ecken und 27 Kanten. ^[3]

Die Desargues-Konfiguration kann auch in Form perspektivischer Dreiecke definiert werden, und die Reye-Konfiguration kann analog aus zwei Tetraedern definiert werden, die in vier zueinander perspektivisch sind verschiedene Wege, ein desmisches System von Tetraedern bildend.

Für jede nicht-singuläre kubische Ebenenkurve in der Euklidischen Ebene, drei reale Wendepunkte der Kurve und einen vierten Punkt auf der Kurve gibt es eine einzigartige Möglichkeit, diese vier Punkte zu einer Pappus-Konfiguration zu vervollständigen alle neun Punkte liegen auf der Kurve. ^[4]

Anwendungen [ edit ]

Die Pappus-Konfiguration, ergänzt durch eine zusätzliche Linie (die vertikale in der Mitte der Figur), löst die Obstanpflanzungsproblem.

Eine Variante der Pappus-Konfiguration bietet eine Lösung für das Obstanpflanzungsproblem, das Problem des Auffindens von Punktgruppen, die durch drei Punkte die größtmögliche Anzahl von Linien haben. Die neun Punkte der Pappus-Konfiguration bilden nur neun Dreipunktlinien. Sie können jedoch so angeordnet werden, dass es eine weitere Dreipunktlinie gibt, also insgesamt zehn. Dies ist die maximal mögliche Anzahl von Dreipunkt-Linien durch neun Punkte. ^[5]

Referenzen [ edit ]

1. ^ Grünbaum, Branko (2009), Konfigurationen von Punkte und Linien Abschluss in Mathematik, 103 Vorsehung, RI: American Mathematical Society, p. xiv + 399, ISBN 978-0-8218-4308-6, MR 2510707
   


2. ^ Grünbaum (2009), p. 9.
   


3. ^ Grünbaum (2009), p. 28.
   


4. ^ Mendelsohn, N. S .; Padmanabhan, R .; Wolk, Barry (1987), "Einige Bemerkungen zu" n "-Clustern auf kubischen Kurven", in Colbourn, Charles J .; Mathon, RA, Kombinatorische Designtheorie Annals of Discrete Mathematics, 34 Elsevier, S. 371–378, Seite: 10.1016 / S0304-0208 (08) 72903-7, 9780444703286, MR 0920661
   


5. ^ Sloane, N.Ja.A. (Hrsg.). "Sequenz A003035". Die Online-Enzyklopädie ganzzahliger Sequenzen . OEIS Foundation.
   

Externe Links [ edit ]