Die signifikanten Zahlen (auch bekannt als signifikante Ziffern ) einer Zahl sind Ziffern, deren Bedeutung zu ihrer Messauflösung beiträgt. Dies umfasst alle Ziffern mit Ausnahme von : [1]
- Alle führenden Nullen;
- Nachgestellte Nullen, wenn sie lediglich Platzhalter sind, um den Maßstab der Zahl anzugeben (genaue Regeln werden bei der Identifizierung signifikanter Zahlen erläutert); und
- Unzählige Stellen, die beispielsweise durch Berechnungen eingeführt wurden, die mit einer höheren Genauigkeit als die der ursprünglichen Daten ausgeführt wurden, oder Messungen, die mit einer höheren Genauigkeit als die Ausrüstungsunterstützungen angegeben wurden.
Signifikanz-Arithmetik sind annähernde Regeln für die grobe Beibehaltung der Signifikanz eine rechnung. Die ausgefeilteren wissenschaftlichen Regeln sind als Ausbreitung der Unsicherheit bekannt.
Die Zahlen werden oft gerundet, um das Melden unwichtiger Zahlen zu vermeiden. Zum Beispiel würde es eine falsche Genauigkeit erzeugen, wenn eine Messung mit 12,34500 kg (mit sieben signifikanten Ziffern) ausgedrückt wird, wenn die Waage nur auf das nächste Gramm genau gemessen wird und einen Wert von 12,345 kg (mit fünf signifikanten Ziffern) ergibt. Zahlen können auch nur zur Vereinfachung gerundet werden, anstatt eine bestimmte Messgenauigkeit anzugeben, um sie beispielsweise in Nachrichtensendungen schneller auszusprechen.
Identifizieren von signifikanten Zahlen [ edit ]
Kurze Regeln [ edit ]
- Alle Nicht-Null-Ziffern sind signifikant: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Nullen zwischen Ziffern ungleich Null sind signifikant: 102, 2005, 50009.
- Führende Nullen sind niemals signifikant: 0,02, 001,887, 0,000515.
- In einer Zahl mit mit einem Dezimalpunkt sind nachfolgende Nullen (die rechts von der letzten Nicht-Null-Ziffer) von Bedeutung: 2.02000, 5.400, 57.5400.
- In einer Anzahl ohne ] ein Dezimalpunkt, nachfolgende Nullen können von Bedeutung sein oder nicht. Weitere Informationen durch zusätzliche grafische Symbole oder explizite Informationen zu Fehlern sind erforderlich, um die Bedeutung der nachfolgenden Nullen zu verdeutlichen.
Regeln für signifikante Zahlen werden erläutert [ edit
Zahlen beim Schreiben oder Interpretieren von Zahlen lauten wie folgt: [2]
- Alle Nicht-Null-Ziffern werden als signifikant betrachtet. Zum Beispiel hat 91 zwei signifikante Ziffern (9 und 1), während 123,45 fünf signifikante Ziffern (1, 2, 3, 4 und 5) hat.
- Nullstellen, die irgendwo zwischen zwei Nicht-Null-Ziffern erscheinen, sind signifikant: 101.1203 hat sieben signifikante Zahlen: 1, 0, 1, 1, 2, 0 und 3.
- Nullen links von den signifikanten Zahlen sind nicht signifikant. Zum Beispiel hat 0,00052 zwei signifikante Ziffern: 5 und 2.
Nullen rechts von den signifikanten Ziffern in einer Zahl, die einen Dezimalpunkt enthält, sind signifikant. Zum Beispiel hat 12.2300 sechs signifikante Ziffern: 1, 2, 2, 3, 0 und 0. Die Zahl 0.000122300 hat immer noch nur sechs signifikante Ziffern (die Nullen vor der 1 sind nicht signifikant). Zusätzlich hat 120,00 fünf signifikante Stellen, da es drei nachgestellte Nullen hat. Diese Konvention verdeutlicht die Genauigkeit solcher Zahlen. Wenn zum Beispiel eine auf vier Dezimalstellen (0,0001) genaue Messung mit 12,23 angegeben wird, versteht es sich, dass nur zwei Dezimalstellen für die Genauigkeit verfügbar sind. Die Angabe des Ergebnisses als 12.2300 macht deutlich, dass es auf vier Dezimalstellen genau ist (in diesem Fall sechs signifikante Stellen).
- Die Bedeutung nachfolgender Nullen in einer Zahl ohne Dezimalpunkt kann mehrdeutig sein. Es kann beispielsweise nicht immer klar sein, ob eine Zahl wie 1300 auf die nächste Einheit genau ist (und zufällig ein genaues Vielfaches von Hundert ist) oder ob sie aufgrund von Rundungen oder Unsicherheiten nur bis zum nächsten Hundert angezeigt wird. Es gibt viele Konventionen, um dieses Problem anzugehen:
- Eine Überlinie, die manchmal auch als Overbar oder weniger genau als Vinculum bezeichnet wird, kann über der letzten signifikanten Zahl platziert werden. nachfolgende Nullen sind unbedeutend. Zum Beispiel hat 13 0 0 drei signifikante Zahlen (und zeigt damit an, dass die Zahl auf die nächsten zehn genau ist).
- Weniger häufig, unter Verwendung einer eng verwandten Konvention, die letzte signifikante Zahl einer Zahl kann unterstrichen sein; Beispielsweise hat "2 0 00" zwei signifikante Ziffern.
- Nach der Zahl kann ein Dezimalpunkt gesetzt werden; zum Beispiel "100". zeigt speziell an, dass drei signifikante Zahlen gemeint sind: [3]
- Bei der Kombination einer Zahl und einer Maßeinheit kann die Mehrdeutigkeit durch Auswahl eines geeigneten Einheitenpräfixes vermieden werden. Zum Beispiel ist die Anzahl der signifikanten Zahlen in einer mit 1300 g angegebenen Masse mehrdeutig, während dies bei einer Masse von 13 hg oder 1,3 kg nicht der Fall ist.
- Die Anzahl kann in der wissenschaftlichen Schreibweise ausgedrückt werden (siehe unten). [19659029] Diese Konventionen werden jedoch nicht universell verwendet, und es ist häufig erforderlich, aus dem Kontext zu bestimmen, ob solche nachgestellten Nullen als signifikant gelten sollen. Wenn alles andere fehlschlägt, kann der Rundungsgrad explizit angegeben werden. Die Abkürzung s.f. wird manchmal verwendet, zum Beispiel "20 000 bis 2 s.f." oder "20 000 (2 sf)". Alternativ kann die Unsicherheit wie in 20.000 ± 1% separat und explizit mit einem Plus-Minus-Vorzeichen angegeben werden, so dass keine Regeln für signifikante Zahlen gelten. Dies erlaubt auch die Angabe einer Genauigkeit zwischen Zehnerpotenzen (oder was auch immer die Basisstärke des Nummerierungssystems ist).
Wissenschaftliche Notation [ edit ]
In den meisten Fällen die Gleiche Regeln gelten für Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise. In der normalisierten Form dieser Notation treten jedoch keine führenden und nachgestellten Ziffern des Platzhalters auf, sodass alle Ziffern signifikant sind. 0.000 12 (zwei signifikante Figuren) wird 1.2 × 10 0.001 223 00 (sechs signifikante Figuren) wird zu 1.223 00 × –3 . Insbesondere wird die potentielle Zweideutigkeit bezüglich der Bedeutung der nachfolgenden Nullen beseitigt. Beispielsweise wird 1300 mit vier signifikanten Zahlen als 1.300 × 10 [1945900190] 3 [19909090]] geschrieben ] 7003130000000000000 1945 1300 zu zwei signifikanten Zahlen wird als 1.3 × 10 3 geschrieben.
Der Teil der Darstellung, der die signifikanten Zahlen enthält (im Gegensatz zur Basis oder zum Exponenten), wird als Signifikant oder Mantisse bezeichnet.
Rundungen und Dezimalstellen [ edit ]
Das Grundkonzept der signifikanten Zahlen wird häufig im Zusammenhang mit der Rundung verwendet. Das Aufrunden auf signifikante Zahlen ist eine allgemeinere Technik als das Abrunden auf n Dezimalstellen, da Zahlen mit unterschiedlichen Skalen einheitlich behandelt werden. Zum Beispiel könnte die Bevölkerung einer Stadt nur in Tausendstel bekannt sein und mit 52.000 angegeben werden, während die Bevölkerung eines Landes nur in Millionenhöhe und mit 52.000.000 angegeben wird. Ersteres könnte zu Hunderten irrtümlich sein, letzteres vielleicht zu Hunderttausenden, aber beide haben zwei signifikante Ziffern (5 und 2). Dies spiegelt die Tatsache wider, dass die Bedeutung des Fehlers (seine wahrscheinliche Größe relativ zur Größe der gemessenen Menge) in beiden Fällen dieselbe ist.
Rundung auf und signifikante Zahlen: [4] [5]
- Identifizieren Sie die signifikanten Zahlen vor dem Abrunden. Dies sind die n fortlaufenden Ziffern, die mit der ersten Ziffer ungleich Null beginnen.
- Wenn die Ziffer unmittelbar rechts von der letzten signifikanten Zahl größer als 5 ist oder eine 5 ist, gefolgt von einer anderen Zahl ungleich Null Stellen Sie der letzten signifikanten Ziffer 1 hinzu. Zum Beispiel sollte 1.2459 als Ergebnis einer Berechnung oder Messung, die nur 3 signifikante Zahlen zulässt, als 1,25 geschrieben werden.
- Wenn die Ziffer rechts neben der letzten signifikanten Ziffer eine 5 ist, dürfen keine anderen Ziffern folgen Die Rundung erfordert nur bei Nullen eine Gleichheitsregel. Um beispielsweise 1,25 auf zwei signifikante Zahlen zu runden:
- Ersetzen Sie nicht signifikante Ziffern vor dem Dezimalpunkt durch Nullen.
- Lassen Sie alle Ziffern hinter dem Dezimalpunkt rechts neben den signifikanten Ziffern (ersetzen Sie sie nicht durch Nullen).
In Finanzberechnungen Eine Zahl wird oft auf eine bestimmte Anzahl von Stellen gerundet (z. B. für viele Weltwährungen auf zwei Stellen nach dem Dezimaltrennzeichen). Bei einer Rundung auf eine feste Anzahl von Dezimalstellen handelt es sich um eine orthografische Konvention, die keine Bedeutung hat und entweder Informationen verliert oder falsche Genauigkeit erzeugt.
Im Vereinigten Königreich werden persönliche Steuererklärungen immer auf das nächste Pfund abgerundet, während die gezahlten Steuern aufgerundet werden, obwohl die an der Quelle abgezogenen Steuern auf den nächsten Cent berechnet werden. Dies führt zu einer interessanten Situation, in der jeder, dessen Steuer an der Quelle genau abgezogen wird, mit einer geringen Wahrscheinlichkeit eine geringfügige Ermäßigung erwartet, wenn er eine Steuererklärung abgibt.
Zur Veranschaulichung kann die Dezimalzahl 12.345 mit verschiedenen Anzahlen signifikanter Ziffern oder Dezimalstellen ausgedrückt werden. Wenn eine ungenügende Genauigkeit verfügbar ist, wird die Zahl in gewisser Weise gerundet, um der verfügbaren Genauigkeit zu entsprechen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse für verschiedene Gesamtgenauigkeiten und Dezimalstellen.
| Präzision | Abgerundet auf signifikante Zahlen | Auf Dezimalstellen gerundet auf |
|---|---|---|
| 6 | 12.3450 | 12.345000 |
| 5 | 12.345 | 12.34500 |
| 4 | 12.35 | 12.3450 |
| 3 | 12.3 | 12.345 |
| 2 | 12 | 12.35 |
| 1 | 10 | 12.3 |
| 0 | N / A | 12 |
Ein weiteres Beispiel für 0.012345 :
| Präzision | Abgerundet auf signifikante Zahlen | Auf Dezimalstellen gerundet auf |
|---|---|---|
| 7 | 0.01234500 | 0,0123450 |
| 6 | 0,0123450 | 0,01245 |
| 5 | 0,01245 | 0,01235 |
| 4 | 0,01235 | 0.0123 |
| 3 | 0.0123 | 0,012 |
| 2 | 0,012 | 0.01 |
| 1 | 0.01 | 0,0 |
| 0 | N / A | 0 |
Die Darstellung einer positiven Zahl x mit einer Genauigkeit von p signifikanten Ziffern hat einen numerischen Wert, der durch die folgende Formel gegeben wird: Zitat benötigt [19659116]]
- round (10 -n [1945 x ) ⋅10 n n, wobei n = Stock (1945956) ] 10 x ) + 1 - p
Für negative Zahlen kann die Formel auf den absoluten Wert angewendet werden; für null ist keine Transformation notwendig. Beachten Sie, dass das Ergebnis möglicherweise mit einer der oben genannten Konventionen geschrieben werden muss, die im Abschnitt "Identifizieren von signifikanten Zahlen" erläutert wird, um die tatsächliche Anzahl signifikanter Ziffern anzugeben, wenn das Ergebnis beispielsweise nachfolgende signifikante Nullen enthält.
Arithmetik [ edit ]
Da es Regeln zur Bestimmung der Anzahl signifikanter Zahlen in direkt gemessenen Mengen gibt, gibt es Regeln zur Bestimmung der Anzahl signifikanter Werte Mengenangaben errechneten aus diesen gemessenen Mengen.
Nur gemessene Mengen spielen bei der Bestimmung der Anzahl signifikanter Zahlen in berechneten Mengen eine Rolle. Genaue mathematische Größen wie π in der Formel für die Fläche eines Kreises mit Radius r π r 2 haben keine Auswirkung auf die Anzahl der signifikanten Zahlen im endgültig berechneten Gebiet. In ähnlicher Weise die ½ in der Formel für die kinetische Energie einer Masse m mit Geschwindigkeit v ½ mv 2 ] hat keinen Einfluss auf die Anzahl der signifikanten Werte der endgültig berechneten kinetischen Energie. Die Konstanten π und ½ haben eine unendliche Anzahl signifikanter Zahlen.
Für Mengen, die aus gemessenen Mengen durch Multiplikation und Division erstellt wurden, sollte das berechnete Ergebnis so viele signifikante Zahlen haben wie die -Zahl mit der . mindestens bedeutende Zahlen. Zum Beispiel,
- 1,234 × 2,0 = 2. 4 68… ≈ 2,5,
mit nur zwei signifikanten Zahlen. Der erste Faktor hat vier signifikante Zahlen und der zweite hat zwei signifikante Zahlen. Der Faktor mit der geringsten Anzahl von signifikanten Zahlen ist der zweite mit nur zwei, so dass das endgültige berechnete Ergebnis auch insgesamt zwei signifikante Werte haben sollte.
Für Mengen, die aus gemessenen Mengen durch Addition und Subtraktion erstellt wurden, die letzte signifikante Dezimalstelle (19459006) (Hunderte, Zehner, Einsen, Zehntel usw.) in dem berechneten Ergebnis sollte das gleiche wie das am weitesten links oder am stärksten Dezimalstellen der letzten signifikanten Zahl aus allen gemessenen Mengen in der Summe sein . Zum Beispiel,
- 100,0 + 1,234 = 101. 2 34… ≈ 101.2
mit der letzten signifikanten Zahl an der Stelle Zehntel . Der erste Begriff hat seine letzte signifikante Zahl auf dem zehnten Platz und der zweite Begriff hat seine letzte signifikante Zahl auf dem tausendsten Platz. Die äußersten Dezimalstellen der letzten signifikanten Zahl aus allen Termen der Summe sind die Zehntel des ersten Terms, daher sollte das berechnete Ergebnis auch die letzte signifikante Zahl an der Zehntelstelle haben.
Die Regeln zur Berechnung signifikanter Zahlen für Multiplikation und Division sind entgegengesetzt zu den Regeln für Addition und Subtraktion. Bei Multiplikation und Division spielt nur die Gesamtzahl der signifikanten Zahlen in jedem der Faktoren eine Rolle. Die Dezimalstelle der letzten signifikanten Zahl in jedem Faktor ist unerheblich. Für die Addition und Subtraktion ist nur die Dezimalstelle der letzten signifikanten Zahl in jedem der Begriffe von Bedeutung. Die Gesamtzahl der signifikanten Zahlen in jedem Begriff ist irrelevant.
In einem Logarithmus zur Basis 10 einer normalisierten Zahl sollte das Ergebnis auf die Anzahl signifikanter Zahlen in der normalisierten Zahl gerundet werden. Zum Beispiel log 10 (3.000 × 10 4 ) = log 10 (10 4 ) + log 10 ] (3.000) ≈ 4 + 0,47712125472 sollte auf 4.4771 gerundet werden.
Bei der Einnahme von Antilogarithmen sollte die resultierende Anzahl so viele signifikante Stellen haben wie die Mantisse im Logarithmus.
Befolgen Sie bei einer Berechnung diese Richtlinien nicht für Zwischenergebnisse. Behalten Sie so viele Ziffern wie möglich (mindestens 1 mehr als durch die Genauigkeit des Endergebnisses impliziert) bis zum Ende der Berechnung, um kumulative Rundungsfehler zu vermeiden. [6]
Schätzung von Zehnteln [ edit
Verwenden Sie bei Verwendung eines Lineals zunächst die kleinste Marke als erste geschätzte Ziffer. Wenn beispielsweise die kleinste Markierung eines Lineals cm ist und 4,5 cm abgelesen wird, ist es 4,5 (± 0,1 cm) oder 4,4 - 4,6 cm.
Es ist möglich, dass die Gesamtlänge eines Lineals nicht auf den Grad der kleinsten Markierung genau ist und dass die Markierungen in jeder Einheit unvollständig angeordnet sind. Bei einem normalen Lineal von guter Qualität sollte es jedoch möglich sein, Zehntel zwischen den nächsten zwei Markierungen abzuschätzen, um eine zusätzliche Dezimalstelle der Genauigkeit zu erreichen. [7] Andernfalls wird der Fehler beim Lesen des Lineals zu einem Fehler bei der Kalibrierung von hinzugefügt das Lineal. [8]
Schätzung [ edit ]
Bei der Schätzung des Anteils von Individuen, die bestimmte Merkmale einer Population tragen, sollte aus einer Zufallsstichprobe dieser Population die Anzahl der signifikanten Zahlen ermittelt werden Die durch diese Stichprobengröße zulässige maximale Genauigkeit darf nicht überschritten werden. Die richtige Anzahl von signifikanten Zahlen ist in der Größenordnung der Stichprobengröße angegeben. Dies kann gefunden werden, indem der Logarithmus der Basis 10 der Stichprobengröße verwendet und auf die nächste ganze Zahl gerundet wird.
In einer Umfrage von 120 zufällig ausgewählten Zuschauern einer regelmäßig besuchten Webseite stellen wir fest, dass 10 Personen mit einem Vorschlag auf dieser Webseite nicht einverstanden sind. Die Größenordnung unserer Stichprobengröße ist Log 10 (120) = 2,0791812460 ..., was auf 2 rund wird. Unser geschätzter Anteil der Personen, die dem Vorschlag nicht zustimmen, beträgt daher 0,083 oder 8,3% 2 signifikante Figuren. Dies liegt daran, dass bei verschiedenen Stichproben von 120 Personen aus dieser Grundgesamtheit unsere Schätzung in Einheiten von 1/120 variieren würde, und dass zusätzliche Zahlen die Größe unserer Stichprobe falsch darstellen würden, indem sie falsche Genauigkeit ergaben. Um unsere Einschätzung der Anzahl der Zuschauer, die dem Vorschlag nicht zustimmen, zu interpretieren, sollten wir ein gewisses Maß an Vertrauen in diese Schätzung berechnen.
Beziehung zu Genauigkeit und Messgenauigkeit [ edit ]
Traditionell bezieht sich "Genauigkeit" in verschiedenen technischen Bereichen auf die Nähe eines bestimmten Messwerts zu seinem wahren Wert; "Präzision" bezieht sich auf die Stabilität dieser Messung, wenn sie viele Male wiederholt wird. In der Hoffnung, die Art und Weise wiederzugeben, wie der Begriff "Genauigkeit" in der wissenschaftlichen Gemeinschaft verwendet wird, gibt es eine neuere Norm, ISO 5725, die die gleiche Definition der Genauigkeit beibehält, den Begriff "Richtigkeit" jedoch als die Nähe einer bestimmten Messung definiert Sein wahrer Wert und verwendet den Begriff "Genauigkeit" als Kombination von Richtigkeit und Präzision. (Siehe den Artikel zu Genauigkeit und Präzision für eine ausführlichere Diskussion.) In beiden Fällen entspricht die Anzahl der signifikanten Zahlen in etwa der Genauigkeit weder der Verwendung der Wortgenauigkeit noch des neueren Begriffs der Richtigkeit.
In der Berechnung [ edit ]
Computerdarstellungen von Fließkommazahlen verwenden normalerweise eine Form der Rundung auf signifikante Zahlen, jedoch mit binären Zahlen. Die Anzahl der korrekten signifikanten Zahlen hängt eng mit dem Begriff des relativen Fehlers zusammen (der den Vorteil hat, ein genaueres Maß für die Genauigkeit zu sein und unabhängig von der Basis des verwendeten Zahlensystems ist).
Siehe auch [ edit ]
Referenzen ]
- Chemie in der Gemeinschaft ; Kendall-Hunt: Dubuque, IA 1988
- ^ Eine genaue Definition der Anzahl der korrekten signifikanten Stellen ist überraschend subtil, siehe Higham, Nicholas (2002). Genauigkeit und Stabilität numerischer Algorithmen (PDF) (2. Aufl.). SIAM. S. 3–5.
- ^ Myers, R. Thomas; Oldham, Keith B .; Tocci, Salvatore (2000). Chemie . Austin, Texas: Holt Rinehart Winston. p. 59. ISBN 0-03-052002-9.
- ^ Engelbrecht, Nancy; et al. (1990). "Dezimalzahlen auf eine bestimmte Genauigkeit runden" (PDF) . Washington, D.C .: US Department of Education. CS1: expliziter Gebrauch von et al. (link)
- ^ Numerical Mathematics and Computing von Cheney und Kincaid
- von Oliveira Sannibale, Virgínio (2001). "Maße und signifikante Figuren (Entwurf)" (PDF) . Freshman Physics Laboratory . California Institute of Technology, Physik, Mathematik und Astronomie. Archiviert aus dem Original (PDF) am 18. Juni 2013.
- ^ Experimentelle elektrische Prüfung . Newark, NJ: Weston Electrical Instruments Co. 1914. p. 9 . 14. Januar 2019 .
- ^ "Measurements" abgerufen. slc.umd.umich.edu . Universität von Michigan . 3. Juli 2017 .
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