In der Geometrie die Tangentenlinie (oder einfach Tangente ). ) zu einer ebenen Kurve an einem bestimmten Punkt ist die gerade Linie, die die Kurve an diesem Punkt "berührt". Leibniz definierte es als die Linie durch ein Paar unendlich enger Punkte auf der Kurve. [1] Genauer gesagt wird eine Gerade als Tangente einer Kurve bezeichnet y = f ( x ) an einem Punkt x = c auf der Kurve, falls die Linie durch den Punkt c führt f ( c )) auf der Kurve und hat eine Neigung f ( c ) ] wobei f ' die Ableitung von f ist. Eine ähnliche Definition gilt für Raumkurven und -kurven in einem -dimensionalen euklidischen Raum.
Wenn sie den Punkt passiert, an dem sich die Tangente und die Kurve treffen, den sogenannten Tangentialpunkt (19459010), verläuft die Tangente in derselben Richtung wie die Kurve und ist somit die beste geradlinige Annäherung an die Kurve an diesem Punkt.
In ähnlicher Weise ist die Tangentialebene an einer Oberfläche an einem bestimmten Punkt die Ebene, die die Oberfläche an diesem Punkt "nur berührt". Das Konzept eines Tangens ist einer der grundlegendsten Begriffe in der Differentialgeometrie und wurde weitgehend generalisiert. siehe Tangentenraum.
Das Wort "tangent" stammt aus dem lateinischen tangere "zum Anfassen".
Geschichte [ edit ]
Euclid verweist in mehreren Punkten auf den Tangens ( ἐφαπτομένη ) auf einen Kreis in Buch III des . Elemente (ca. 300 v. Chr.). [2] In der Arbeit Apollonius Conics (ca. 225 v. Chr.) Definiert er eine Tangente als als Linie, die keine andere gerade Linie könnte ]
zwischen ihm und der Kurve fallen [3]
Archimedes (ca. 287 - ca. 212 v.Chr.) Fand die Tangente an einer archimedischen Spirale, indem er den Pfad eines Punkts entlang der Kurve berücksichtigte. [3]
In den 1630er Jahren entwickelte sich Fermat die Technik der Angemessenheit zur Berechnung von Tangenten und anderen Problemen in der Analyse und verwendete diese zur Berechnung von Tangenten an der Parabel. Die Technik der Angemessenheit ist ähnlich wie bei der Differenz zwischen und ] und durch eine Potenz von . Unabhängig Descartes verwendete seine Methode der Normalen auf der Grundlage der Beobachtung, dass der Radius eines Kreises immer normal zum Kreis selbst ist. [4]
![] f (x + h)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79d112f0e80b791b42f289ae9b9b520ca2edd28)
Diese Methoden führten zur Entwicklung der Differentialrechnung das 17. Jahrhundert. Viele Leute haben dazu beigetragen. Roberval entdeckte eine allgemeine Methode zum Zeichnen von Tangenten, indem er eine Kurve betrachtet, die von einem sich bewegenden Punkt beschrieben wird, dessen Bewegung aus mehreren einfacheren Bewegungen resultiert. [5] René-François de Sluse und Johannes Hudde fanden algebraische Algorithmen zum Finden von Tangenten. [6] Weiterentwicklungen beinhalteten die von John Wallis und Isaac Barrow, die zur Theorie von Isaac Newton und Gottfried Leibniz führten.
Eine Definition von Tangente aus dem Jahr 1828 war "eine rechte Linie, die eine Kurve berührt, die aber nicht erzeugt wird, wenn sie erzeugt wird". [7] Diese alte Definition verhindert, dass die Wendepunkte einen Tangens haben. Sie wurde abgewiesen, und die modernen Definitionen entsprechen denen von Leibniz, die die Tangente als Linie durch ein Paar unendlich enger Punkte auf der Kurve definiert.
Tangentenlinie zu einer Kurve [ edit ]
Die intuitive Vorstellung, dass eine Tangentenlinie eine Kurve "berührt", kann durch die Berücksichtigung der Folge von geraden Linien (Sekante Linien) deutlicher gemacht werden ) durch zwei Punkte, A und B diejenigen, die auf der Funktionskurve liegen. Die Tangente an A ist die Grenze, wenn sich Punkt B annähert oder zu A tendiert. Die Existenz und Einzigartigkeit der Tangentenlinie hängt von einer bestimmten Art mathematischer Glätte ab, die als "Differenzierbarkeit" bezeichnet wird. Wenn sich beispielsweise zwei Kreisbögen an einem scharfen Punkt (einem Scheitelpunkt) treffen, gibt es keinen eindeutig definierten Tangens am Scheitelpunkt, da die Grenze des Fortschreitens der Sekantenlinien von der Richtung abhängt, in der "Punkt B "nähert sich dem Scheitelpunkt.
An den meisten Punkten berührt die Tangente die Kurve, ohne sie zu kreuzen (wenn sie jedoch fortgesetzt wird, kann sie die Kurve an anderen Stellen außerhalb des Tangentenpunktes kreuzen). Ein Punkt, an dem die Tangente (an diesem Punkt) die Kurve kreuzt, wird als Wendepunkt bezeichnet. Kreise, Parabeln, Hyperbeln und Ellipsen haben keinen Wendepunkt, aber kompliziertere Kurven wie der Graph einer kubischen Funktion, die genau einen Wendepunkt hat, oder eine Sinuskurve, die pro Wendepunkt zwei Wendepunkte hat Sinus.
Umgekehrt kann es vorkommen, dass die Kurve vollständig auf einer Seite einer geraden Linie liegt, die durch einen Punkt darauf verläuft, und diese gerade Linie ist jedoch keine Tangente. Dies ist zum Beispiel der Fall für eine Linie, die den Scheitelpunkt eines Dreiecks durchquert und diesen nicht anderweitig schneidet - wobei die Tangente aus den oben erläuterten Gründen nicht existiert. In der konvexen Geometrie werden solche Linien als Stützlinien bezeichnet.
Analytischer Ansatz [ edit [Bearbeiten]]
Die geometrische Idee der Tangentenlinie als Grenze von Sekantenlinien dient als Motivation für analytische Methoden, mit denen explizit Tangentenlinien gesucht werden. Die Frage nach der Tangentenlinie zu einem Graphen oder dem Problem der Tangentenlinie von 19459010 war eine der zentralen Fragen, die im 17. Jahrhundert zur Entwicklung des Kalküls führten. In seinem zweiten Buch Geometry sagte René Descartes [8] das Problem des Konstruierens des Tangens an einer Kurve: "Und ich wage nicht zu sagen, dass dies nicht nur das nützlichste und allgemeinste Problem in der Geometrie ist das weiß ich, aber selbst das, was ich jemals wissen wollte ". [9]
Intuitive Beschreibung [ edit ]
Angenommen, eine Kurve wird als Graph einer Funktion angegeben, y = f ( x ). Um die Tangente an dem Punkt p = zu finden (19459014] a f ( a )), betrachten Sie einen anderen nahe gelegenen Punkt . q = ( a + h f ( a + h ))) auf der Kurve . Die Steigung der Sekantenlinie, die durch p und q führt, ist gleich dem Differenzquotienten
Da sich der Punkt q nähert p was der Herstellung h entspricht. kleiner und kleiner sollte sich der Differenzquotient einem bestimmten Grenzwert nähern k der die Neigung der Tangente am Punkt p ist. Wenn k bekannt ist, kann die Gleichung der Tangente in der Punktneigungsform gefunden werden:
Strengere Beschreibung [ edit ]
Um die vorstehende Argumentation strenger zu machen, muss man erklären, was mit dem Quotienten eines bestimmten Quotienten gemeint ist Grenzwert k . Die genaue mathematische Formulierung wurde von Cauchy im 19. Jahrhundert gegeben und basiert auf dem Begriff der Grenze. Angenommen, der Graph hat weder bei einen Bruch noch eine scharfe Kante und er ist in der Nähe von weder zu senkrecht noch zu wacklig. Dann gibt es einen eindeutigen Wert von k so dass, wenn h sich 0 nähert, der Differenzquotient immer näher an k wird und der Abstand zwischen ihnen zunimmt vernachlässigbar im Vergleich zu h wenn h klein genug ist. Dies führt zur Definition der Steigung der Tangentenlinie zu dem Graphen als Grenze der Differenzquotienten für die Funktion f . Diese Grenze ist die Ableitung der Funktion f bei x = a bezeichnet als f a . . Unter Verwendung von Ableitungen kann die Gleichung der Tangente wie folgt angegeben werden:
Calculus stellt Regeln für die Berechnung der Ableitungen von Funktionen bereit, die durch Formeln wie z Potenzfunktion, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion, Logarithmus und ihre verschiedenen Kombinationen. Gleichungen der Tangenten an Graphen all dieser Funktionen sowie viele andere können mit den Berechnungsmethoden gefunden werden.
Wie die Methode fehlschlagen kann [ edit ]
Calculus zeigt auch, dass es in ihren Diagrammen Funktionen und Punkte gibt, für die die die Steigung der Tangentenlinie bestimmende Grenze nicht existiert. Für diese Punkte ist die Funktion f nicht unterscheidbar . Es gibt zwei mögliche Gründe für die Methode, die Tangenten basierend auf den Grenzen und Ableitungen zu finden, um zu scheitern: Entweder ist der geometrische Tangens vorhanden, es handelt sich jedoch um eine vertikale Linie, die nicht in der Form der Punktneigung angegeben werden kann, da sie keine Steigung oder der Graph zeigt eines von drei Verhalten, die einen geometrischen Tangens ausschließen.
Der Graph y = x 1/3 veranschaulicht die erste Möglichkeit: Hier ist der Differenzquotient bei a = 0 gleich ] h 1/3 / h = h –2/3 was sehr groß wird, wenn h gegen 0 geht. Diese Kurve hat am Ursprung eine tangentiale Linie, die vertikal verläuft.
Der Graph y = x 2/3 veranschaulicht eine andere Möglichkeit: Dieser Graph hat einen -Spitzenwert am Ursprung. Dies bedeutet, dass, wenn h sich 0 nähert, der Differenzquotient bei a = 0 je nach Vorzeichen von x plus oder minus unendlich. Somit befinden sich beide Zweige der Kurve nahe an der halben vertikalen Linie, für die y = 0 ist, aber keiner liegt nahe am negativen Teil dieser Linie. Grundsätzlich gibt es in diesem Fall keine Tangente am Ursprung, aber in manchen Zusammenhängen kann man diese Linie als Tangente und sogar in algebraischer Geometrie als doppelten Tangenten betrachten.
Der Graph y = | x | der Absolutwertfunktion besteht aus zwei Geraden mit unterschiedlichen Steigungen, die am Ursprung verbunden sind. Wenn ein Punkt q sich dem Ursprung von rechts nähert, hat die Sekantenlinie immer die Steigung 1. Wenn ein Punkt q sich dem Ursprung von links nähert, hat die Sekantenlinie immer die Neigung -1 . Daher gibt es am Ursprung keinen eindeutigen Tangens zu der Grafik. Zwei verschiedene (aber endliche) Steigungen zu haben, wird als Ecke bezeichnet.
Schließlich, da Differenzierbarkeit Kontinuität impliziert, impliziert die Kontinuität der kontrapositiven Staaten Nichtunterscheidbarkeit. Ein solcher Sprung oder Punktbruch wird keine Tangente aufweisen. Dies schließt Fälle ein, in denen sich eine Steigung der positiven Unendlichkeit nähert, während sich die andere der negativen Unendlichkeit nähert, was zu einer unendlichen Sprungdiskontinuität führt
Gleichungen [ edit ]
Wenn die Kurve von y = ( x ) gegeben wird die Neigung der Tangente ist
So ist nach der Punkt-Steigungs-Formel die Gleichung der Tangente an ( X Y )
wobei ( x y ) sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Tangentenlinie, und die Ableitung wird bei [10]
Wenn die Kurve gegeben ist durch und = f ( x ) , die Gleichung der Tangentenlinie kann auch gefunden werden [11] durch Polynomdivision zur Division von ; Wenn der Rest mit bezeichnet wird, dann die Gleichung der Tangente ist gegeben durch
Wenn die Gleichung der Kurve in der Form f ( x y ) angegeben ist 0, dann kann der Wert der Steigung durch implizite Differenzierung ermittelt werden
Die Gleichung der Tangentenlinie an einem Punkt ( X Y ), so dass f ( X Y ) = 0 ist, dann ist [10]
Diese Gleichung bleibt gültig, wenn
X Y ) = 0 { displaystyle { frac { partial f} { partial y}} (X, Y) = 0}
Bei algebraischen Kurven können Berechnungen durch Konvertierung in homogene Koordinaten etwas vereinfacht werden. Insbesondere sei die homogene Gleichung der Kurve g ( x y z ) = 0 wobei g g ist eine homogene Funktion des Grades n . Wenn dann [(19459014] X Y Z ) auf der Kurve liegt, impliziert der Satz von Euler
Die Gleichung der Tangentenlinie in kartesischen Koordinaten kann durch Setzen von z = 1 in dieser Gleichung gefunden werden. [12]
Um dies auf algebraische Kurven anzuwenden, schreiben Sie f (19459014) ] x und ) als
-
wobei u [19659409] r ist die Summe aller Fachausdrücke r . Die homogene Gleichung der Kurve lautet dann
-
als Gleichung der Tangentenlinie. [13] Die Gleichung in dieser Form ist in der Praxis oft einfacher zu verwenden, da nicht weiter Vereinfachung ist notwendig, nachdem es ist angewendet. [12]
Wenn die Kurve parametrisch durch angegeben wird
-
dann ist die Steigung der Tangente
-
das die Gleichung für die Tangentenlinie bei als [14]
-
Wenn Tangente ist nicht definiert. Es kann jedoch vorkommen, dass die Tangente vorhanden ist und aus einer impliziten Gleichung der Kurve berechnet werden kann.
Normale Linie zu einer Kurve [ edit ]
Die Linie senkrecht zur Tangentenlinie zu einer Kurve am Tangentialpunkt wird als Normale Linie bezeichnet die Kurve an diesem Punkt. Die Steigungen der senkrechten Linien haben das Produkt −1, wenn also die Gleichung der Kurve y = f ( x ) ist, dann ist die Steigung der Normallinie
-
und daraus folgt, dass die Gleichung der Normallinie bei (X, Y) ist
-
Ebenso, wenn die Gleichung der Kurve die Form [19459014hat] f ( x und ) = 0, dann ist die Gleichung der Normallinie gegeben durch [15]
f
-
Wenn die Kurve parametrisch durch angegeben wird
-
dann ist die Gleichung der normalen Linie [14]
-
Winkel zwischen den Kurven [ bearbeiten ]
Der Winkel zwischen zwei Kurven an einem Punkt, an dem sie sich schneiden, wird als der Winkel zwischen ihren Tangenten an diesem Punkt definiert. Genauer gesagt heißt es, dass zwei Kurven an einem Punkt tangential sind, wenn sie an einem Punkt die gleiche Tangente haben, und orthogonal, wenn ihre Tangentenlinien orthogonal sind. [16]
Mehrere Tangenten an einem Punkt ]]
Die limaçonische Trisektrix: Eine Kurve mit zwei Tangenten am Ursprung.
Die obigen Formeln versagen, wenn der Punkt ein singulärer Punkt ist. In diesem Fall können zwei oder mehr Zweige der Kurve den Punkt durchlaufen, wobei jeder Zweig eine eigene Tangente hat. Wenn der Punkt der Ursprung ist, können die Gleichungen dieser Linien für algebraische Kurven gefunden werden, indem die gebildete Gleichung berücksichtigt wird, indem alle Terme außer dem niedrigsten Grad aus der ursprünglichen Gleichung entfernt werden. Da jeder Punkt durch Änderung von Variablen zum Ursprung gemacht werden kann, gibt dies eine Methode zum Ermitteln der Tangenten an einem beliebigen Punkt.
Zum Beispiel ist die nachstehende Gleichung der Limaçon-Trisektrix
x "/>
19659137] 19659137] 19659137 2 = a 2 ( x 2 + y 2 ] ] { displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -2ax) ^ {2} = a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}). ,}
Dies zu erweitern und alle Begriffe bis auf Grad 2 zu eliminieren gibt
-
Dies sind also die Gleichungen der beiden Tangenten durch den Ursprung. [17]
When Da die Kurve nicht selbstkreuzend ist, kann die Tangente an einem Bezugspunkt immer noch nicht eindeutig definiert werden, da die Kurve an diesem Punkt nicht differenzierbar ist, obwohl sie an anderer Stelle differenzierbar ist. In diesem Fall sind die linke und rechte Ableitung als Grenzwerte der Ableitung definiert, da der Punkt, an dem sie ausgewertet wird, sich dem Referenzpunkt von links (niedrigere Werte) oder rechts (höhere Werte) nähert. Zum Beispiel ist die Kurve y = | x | ist nicht unterscheidbar bei x = 0: Seine linken und rechten Ableitungen haben jeweilige Steigungen –1 und 1; Die Tangenten an diesem Punkt mit diesen Steigungen werden als linke und rechte Tangente bezeichnet. 19459156 [18]
Manchmal sind die Steigungen der linken und rechten Tangentenlinie gleich, so dass die Tangentenlinien übereinstimmen. Dies gilt beispielsweise für die Kurve y = x 2/3 für die sowohl die linke als auch die rechte Ableitung bei x = 0 ist sind unendlich; Sowohl die linke als auch die rechte Tangente haben die Gleichung x = 0.
Tangente Kreise [ edit ]
Zwei Paare von Tangentialkreisen. Above internally and below externally tangentTwo circles of non-equal radius, both in the same plane, are said to be tangent to each other if they meet at only one point. Equivalently, two circles, with radii of ri and centers at (xiyi), for i = 1, 2 are said to be tangent to each other if
- Two circles are externally tangent if the distance between their centres is equal to the sum of their radii.
- Two circles are internally tangent if the distance between their centres is equal to the difference between their radii.[19]
Surfaces and higher-dimensional manifolds[edit]
The tangent plane to a surface at a given point p is defined in an analogous way to the tangent line in the case of curves. It is the best approximation of the surface by a plane at pand can be obtained as the limiting position of the planes passing through 3 distinct points on the surface close to p as these points converge to p. More generally, there is a k-dimensional tangent space at each point of a k-dimensional manifold in the n-dimensional Euclidean space.
See also[edit]
References[edit]
- ^ Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", Acta EruditorumOct. 1684.
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- ^ Thomas, George B. Jr., and Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic GeometryAddison Wesley Publ. Co.: p. 140.
- ^ Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O’Sullivan 1997
Sources[edit]
External links[edit]
Wikimedia Commons has media related to Tangency.
aber 
![{ displaystyle { frac { partial g} { partial x}} cdot X + { frac { partial g} { partial y}} cdot Y + { frac { partial g} { partial z}} cdot Z = ng (X, Y, Z) = 0.} [19659341] Daraus folgt, dass die homogene Gleichung der Tangentenlinie ist<br/><br/><dl><dd><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d964b7e5be1f90a960e4f294b830debab2b030be)
Die Gleichung der Tangentenlinie in kartesischen Koordinaten kann durch Setzen von z = 1 in dieser Gleichung gefunden werden. [12]
Um dies auf algebraische Kurven anzuwenden, schreiben Sie f (19459014) ] x und ) als
wobei u [19659409] r ist die Summe aller Fachausdrücke r . Die homogene Gleichung der Kurve lautet dann
![g = u_n + u_ {n-1} z + Punkte + u_1 z ^ {n-1} + u_0 z ^ n = 0. , [19659040] </dd> </dl> <p> Anwenden der obigen Gleichung und Einstellen <i> z </i> = 1 ergibt<br/></p><br/><dl><dd><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d132f29baa6539d17c392e0d5b7d5b4baa89bc3e)
als Gleichung der Tangentenlinie. [13] Die Gleichung in dieser Form ist in der Praxis oft einfacher zu verwenden, da nicht weiter Vereinfachung ist notwendig, nachdem es ist angewendet. [12]
Wenn die Kurve parametrisch durch angegeben wird
dann ist die Steigung der Tangente
das die Gleichung für die Tangentenlinie bei als [14]
Wenn Tangente ist nicht definiert. Es kann jedoch vorkommen, dass die Tangente vorhanden ist und aus einer impliziten Gleichung der Kurve berechnet werden kann.
Normale Linie zu einer Kurve [ edit ]
Die Linie senkrecht zur Tangentenlinie zu einer Kurve am Tangentialpunkt wird als Normale Linie bezeichnet die Kurve an diesem Punkt. Die Steigungen der senkrechten Linien haben das Produkt −1, wenn also die Gleichung der Kurve y = f ( x ) ist, dann ist die Steigung der Normallinie
und daraus folgt, dass die Gleichung der Normallinie bei (X, Y) ist
Ebenso, wenn die Gleichung der Kurve die Form [19459014hat] f ( x und ) = 0, dann ist die Gleichung der Normallinie gegeben durch [15]
fWenn die Kurve parametrisch durch angegeben wird
]
x "/>
19659137] 19659137] 19659137 2= a 2 ( x 2 + y 2 ] ] { displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -2ax) ^ {2} = a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}). ,} - Two circles are externally tangent if the distance between their centres is equal to the sum of their radii.
- Two circles are internally tangent if the distance between their centres is equal to the difference between their radii.[19]
- ^ Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", Acta EruditorumOct. 1684.
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- ^ Thomas, George B. Jr., and Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic GeometryAddison Wesley Publ. Co.: p. 140.
- ^ Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O’Sullivan 1997
dann ist die Gleichung der normalen Linie [14]
Winkel zwischen den Kurven [ bearbeiten ]
Der Winkel zwischen zwei Kurven an einem Punkt, an dem sie sich schneiden, wird als der Winkel zwischen ihren Tangenten an diesem Punkt definiert. Genauer gesagt heißt es, dass zwei Kurven an einem Punkt tangential sind, wenn sie an einem Punkt die gleiche Tangente haben, und orthogonal, wenn ihre Tangentenlinien orthogonal sind. [16]
Mehrere Tangenten an einem Punkt ]]
Die obigen Formeln versagen, wenn der Punkt ein singulärer Punkt ist. In diesem Fall können zwei oder mehr Zweige der Kurve den Punkt durchlaufen, wobei jeder Zweig eine eigene Tangente hat. Wenn der Punkt der Ursprung ist, können die Gleichungen dieser Linien für algebraische Kurven gefunden werden, indem die gebildete Gleichung berücksichtigt wird, indem alle Terme außer dem niedrigsten Grad aus der ursprünglichen Gleichung entfernt werden. Da jeder Punkt durch Änderung von Variablen zum Ursprung gemacht werden kann, gibt dies eine Methode zum Ermitteln der Tangenten an einem beliebigen Punkt.
Zum Beispiel ist die nachstehende Gleichung der Limaçon-Trisektrix
Dies zu erweitern und alle Begriffe bis auf Grad 2 zu eliminieren gibt
![a ^ 2 (3x ^ 2-y ^ 2) = 0 , [19659040] </dd> </dl> <p>die, wenn sie in Rechnung gestellt werden,<br/></p><br/><dl><dd><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6b1fbed355a462704eb1862b11d4654c4595ef)
Dies sind also die Gleichungen der beiden Tangenten durch den Ursprung. [17]
When Da die Kurve nicht selbstkreuzend ist, kann die Tangente an einem Bezugspunkt immer noch nicht eindeutig definiert werden, da die Kurve an diesem Punkt nicht differenzierbar ist, obwohl sie an anderer Stelle differenzierbar ist. In diesem Fall sind die linke und rechte Ableitung als Grenzwerte der Ableitung definiert, da der Punkt, an dem sie ausgewertet wird, sich dem Referenzpunkt von links (niedrigere Werte) oder rechts (höhere Werte) nähert. Zum Beispiel ist die Kurve y = | x | ist nicht unterscheidbar bei x = 0: Seine linken und rechten Ableitungen haben jeweilige Steigungen –1 und 1; Die Tangenten an diesem Punkt mit diesen Steigungen werden als linke und rechte Tangente bezeichnet. 19459156 [18]
Manchmal sind die Steigungen der linken und rechten Tangentenlinie gleich, so dass die Tangentenlinien übereinstimmen. Dies gilt beispielsweise für die Kurve y = x 2/3 für die sowohl die linke als auch die rechte Ableitung bei x = 0 ist sind unendlich; Sowohl die linke als auch die rechte Tangente haben die Gleichung x = 0.
Tangente Kreise [ edit ]
Two circles of non-equal radius, both in the same plane, are said to be tangent to each other if they meet at only one point. Equivalently, two circles, with radii of ri and centers at (xiyi), for i = 1, 2 are said to be tangent to each other if
Surfaces and higher-dimensional manifolds[edit]
The tangent plane to a surface at a given point p is defined in an analogous way to the tangent line in the case of curves. It is the best approximation of the surface by a plane at pand can be obtained as the limiting position of the planes passing through 3 distinct points on the surface close to p as these points converge to p. More generally, there is a k-dimensional tangent space at each point of a k-dimensional manifold in the n-dimensional Euclidean space.
See also[edit]
References[edit]
Sources[edit]
External links[edit]
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