Ramanujan-Nagell-Gleichung - Wikipedia

In der Mathematik ist auf dem Gebiet der Zahlentheorie die Ramanujan-Nagell-Gleichung eine Gleichung zwischen einer Quadratzahl und einer Zahl, die sieben weniger ist als eine Zweierpotenz. Dies ist ein Beispiel für eine exponentielle Diophantine-Gleichung, eine in Ganzzahlen zu lösende Gleichung, bei der eine der Variablen als Exponent erscheint. Es ist nach Srinivasa Ramanujan benannt, der vermutete, dass es nur fünf ganzzahlige Lösungen hat, und nach Trygve Nagell, der die Vermutung bewiesen hat.

Gleichung und Lösung [ edit ]

Die Gleichung lautet

$2 { displaystyle 2 ^ {n} -7 = x ^ {2}},}$

und Lösungen in natürlichen Zahlen n und x existieren gerade als n = 3, 4, 5, 7 und 15.

Dies wurde 1913 vom indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan vermutet, der 1943 vom norwegischen Mathematiker Wilhelm Ljunggren unabhängig vorgeschlagen und 1948 vom norwegischen Mathematiker Trygve Nagell bewiesen wurde. Die Werte von und entsprechen den Werten von x als: -

x = 1, 3, 5, 11 und 181. ^[1]

Dreieckige Mersenne-Zahlen [ edit

Das Problem, alle Zahlen der Form 2 zu finden [19659020] b - 1 (Mersenne-Zahlen), die dreieckig sind, ist äquivalent:

${ displaystyle { begin {align} & 2 ^ {b} -1 = { frac {y (y + 1)} {2}} \ [2pt] Longleftrightarrow & 8 (2 ^ {b} -1) = 4y (y + 1) \ Longleftrightarrow & 2 ^ {b + 3} -8 = 4y ^ {2} + 4y \ Longleftrightarrow & 2 ^ {b + 3} -7 = 4y ^ {2} + 4y + 1 \ Longleftrightarrow & 2 ^ {b + 3} -7 = (2y + 1) ^ {2} end {56}}}$